І етап Всеукраїнської 
олімпіади з математики

7 клас

1. Порівняйте з нулем число, де:
а);
б).
Тут у кожному з пунктів знаки перед послідовними числами йдуть таким чином – спочатку один «+», а далі по черзі по два знаки «-» та по два «+» і перед останнім числом знак «+». 

2. Розріжте квадрат на 3 частини прямолінійними розрізами так, щоб з одержаних частин можна було скласти тупокутний трикутник.
Після першого розрізу перекладати частини розрізаного квадрату не можна. 

3. Назвемо номер року барвистим, якщо в його десятковому записі жодна цифра не повторюється. Наприклад, роки з 2013 по 2019 – барвисті, а 2020 – ні.
а) Знайдіть, коли наступного разу утвориться ланцюжок з семи барвистих років поспіль.
б) Чи може в майбутньому з’явитися такий ланцюжок, що містить більше семи барвистих років?

4.Квадрат  розбито на 81 квадратик , 8 з яких пофарбовано у чорний колір, а решта – у білий. З квадрата  вирізають повністю білий прямокутник (або квадрат). Яку найбільшу площу може гарантовано мати цей прямокутник? Вирізати дозволяється лише вздовж ліній, які розділяють квадрат на одиничні квадратики.

8 клас

1. Троє велосипедистів стартують одночасно та їдуть по сторонах трикутника  у порядку:  Відомі їх швидкості на кожному з відрізків : у першого велосипедиста вони дорівнюють відповідно 12, 10 та 20 км/год, у другого – 15, 15 та 10 км/год, у третього – 10, 20 та 12 км/год. Яким може бути значення кута , якщо відомо, що вони прибули в точку  одночасно?

2. Чи можна з усіх 10 цифр 0, 1, ..., 9, використавши кожну цифру рівно один раз, утворити два числа,одне з яких є квадратом іншого?
Цифра 0 не може стояти на першому місці в жодному з чисел.

3. У рівнобедреному трикутнику  провели бісектрису , а у трикутнику  – бісектрису . Знайдіть величини кутів трикутника , якщо відомо, що бісектриси кутів  та  перетинаються на прямій .

4. Задача № 4 за 7 клас.

9 клас

1. Задача № 1 за 8 клас.

2. У січні Петрик щоденно купляв собі від однієї до трьох машинок. Першого лютого він спробував усі куплені машинки розставити у прямокутник. Коли він розставив їх в ряди по 7 машинок у кожному ряді, то виявилась 1 зайва машинка. Коли розставив в ряди по 10 машинок, то зайвими лишилися 2 машинки. Чи зможе Петрик розставити їх в ряди по 4 машинки?

3. Відомо, що у дану прямокутну трапецію можна вписати квадрат таким чином, щоб кожна його вершина лежала на відповідній стороні трапеції (жодна з вершин квадрата не співпадає з вершиною трапеції). Побудуйте цей вписаний квадрат за допомогою циркуля і лінійки.

4.Для додатних чисел  доведіть нерівність:
.

5. Квадрат  розбито на 121 квадратик , 4 з яких пофарбовано у чорний колір, а решта – у білий. З квадрата  вирізають повністю білий прямокутник (або квадрат). Яку найбільшу площу може гарантовано мати цей прямокутник? Вирізати дозволяється лише вздовж ліній, які розділяють квадрат на одиничні квадратики.
10 клас

1. Для довільних попарно різних додатних чисел розв’яжіть рівняння: 
.

2. Знайдіть найменше натуральне число , для якого існують такі натуральні числа , що виконується рівність: .

3. Вінні-Пух і П’ятачок грають у гру за такими правилами. Є палиця довжиною 15 см. Першим ходом П’ятачок розламує її на дві частини, далі гравці по черзі розламують на дві частини один із наявних шматків. При цьому, шматки повинні мати натуральну довжину (в сантиметрах) і не можуть дорівнювати 1 см. Програє той, хто не може зробити хід. У кого з гравців є виграшна стратегія?

4. Для невід’ємних чисел  доведіть нерівність:
.

5. Кола  та  з центрами в точках та  відповідно перетинаються в точках  та . Навколо трикутника  описали коло з центром у точці , яке перетинає кола  та  вдруге в точках  та  відповідно. Пряма  перетинає кола  та  у точках  та  відповідно. Прямі  та  перетинаються в точці . Доведіть, що точка  лежить на колі  та .

11 клас

1. Чи існують дійсні числа , що задовольняють рівність:
?

2. Знайдіть усі такі натуральні числа , які мають більше  дільників. 

3. Відомо, що многочлен

можна також подати у вигляді , де серед чисел  принаймні 2015 від’ємних та не обов’язково різних. Знайдіть усі коефіцієнти многочлену .

4. В гострокутному трикутнику  сторони  і  мають різну довжину, а продовження медіани  перетинає описане коло в точці . На цьому колі відмітимо таку точку , що , де  – точка перетину висот трикутника . Точка обрана таким чином, що  - паралелограм. Доведіть, що прямі ,  і  перетинаються в одній точці.
5. У країні є 2015 міст, деякі з яких з’єднані двосторонніми авіалініями. Відомо, що длякожного не існує попарно різних міст, для яких існував би замкнений маршрут перельотів  (для трьох міст такі маршрути можуть існувати). Яка найбільша кількість пар міст цієї країни можуть бути з’єднані прямим авіасполученням?